2次関数問題解答解説

(1)
  (A) y=2x2-8x+11において、x軸方向にa, y軸方向にb移動したとすると、移動後の関数は
  y-a=2(x-b)2-8(x-b)+11からy=2x2-4x(b+2)+(2b2+8b+a+11)となるから
  b+2=0, b=-2, 2b2+8b+a+11=0, 8-16+a+11=0からa=-3

  (B) y=2x2-8x+11=2(x-2)2+3 このグラフをx軸方向に頂点x軸位置2からx=aに対称に移動する
  するのでa-(2-a)=2a-2の位置に頂点のx軸がくる事になる。従って
  y=2(x-2a+2)2+3=2x2-8x(a-1)+8(a2-2a+1)+3からa=1

  (C) y=2x2-8x+11 @上の点(x,y), y=ー2x2 A上の点(X,Y)とすると(x+X)/2=a, (y+Y)/2=bとなるから
  y=2b-Y, x=2a-Xを@に代入整理するとY=-2x2-8X(1-a)-(11-16a-2b)となるからAと比較しa=1,
  11-16-2b=0からb=5/2

(2) 建物に垂直な方向の距離をxとすると残りの一辺は(100-x)/2となるから面積Sは
   S=x・(100-x)/2=(-1/2)(x-50)2+2500/2 従ってx=50の時、面積最大となる。
   他の辺の長さは25となる

(3) x2+2ax+3(2a-b)=0が重解を持つから判定式D1=4a2-12(2a-b)=0 @ 重解αはα=-2aとなる。
   @式を整理すると a2-6a+6b=0となる。aに関する2次式と考えこの判定式D2=36-12b=m2となる。
   この式からb=(36-m2)/12=3-(m2/12)  bは自然数だからm=0又はm=6となる。
   m=0からa=3, b=3, α=-6   m=6からa=6, b=0, α=-12となる。bは自然数だから0は含まれない。
   従って、m=0からa=3, b=3, α=-6となる。

(4) x2-2xy+(2y2-1)=0からx,yは解を持つことからD=4-4y2>=0からー1<=y<=1
  2y2-2xy+(x2-1)=0から判定式D=-4(x2-2)>=0 よって -√2<=x<=√2
  x+y=tと置くとx=t-yとし与式に代入整理すると5y2-4ty+(t2-1)=0
  この判定式D=-4(t2-5)>=0よって -√5<=t<=√5

解答 ア 3, イ 2, ウ 1, エ 1, オ 5, カ 2 キ 50, ク 25, ケ 3, コ 3, サ 6, シ √2 (R2), ス 1, セ √5 (R5)